ME-M1-01-P04 · 次数の厳密定義

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ME-M1-01-P04 次数の厳密定義

• ブランド: Medvance
• 講座: 基礎講座
• 科目: 高校数学I
• 章: 数と式
• 設計: 1中心技能、5〜9分、NotebookLM生成用

今日のゴール

整式を整理してから、単項式・一変数多項式・多変数多項式の次数を正しく判定する。このPartはこの中心技能だけを扱い、隣接Partの内容を詰め込まない。

受験での位置づけ

数と式の計算は二次関数・方程式・三角比・理科の式変形にもつながる。暗記だけでなく、定義、途中過程、検算まで再現できる状態を目標にする。

この回のポイント

• 単項式の次数は文字の指数の和
• 一変数多項式の次数は係数が0でない項の最大指数
• 同類項を整理して消える項を除いてから次数を決める
• 多変数では全次数と特定文字についての次数を区別する

定義・用語

• 単項式の次数：文字に付く指数の総和。3x²y³の次数は2+3=5。
• 多項式の次数：整理後に残る項の次数の最大値。
• xについての次数：他の文字を係数とみなし、xの指数だけを比べた最大値。

判断の根拠

次数は見た目の最初の項では決まらない。同類項が相殺されると最高次項が消えるため、先に整理する。

多変数の全次数とxについての次数は別の問いである。何を数えるかを答案に明記する。

解法を選ぶ判断

「次数の厳密定義」では、最初に「単項式の次数は文字の指数の和」を確認し、次に「一変数多項式の次数は係数が0でない項の最大指数」を使って候補を絞る。計算だけを先に進めず、どの定義や公式を選んだかを一文で書く。結果が出たら「3x²y+x⁴ のyについての次数は。」にも答え、基本例題とは条件や着眼点が異なる発展問題でも同じ根拠を使えるか確かめる。これにより、偶然答えが合っただけの状態と、自力で再現できる状態を区別する。

核となる手順

1. 同類項をまとめて整式を整理する
2. 係数が0になった項を除く
3. 各項の文字の指数を確認する
4. 設問が全次数か特定文字についての次数かを確認する
5. 残る最大の次数を答え、最高次項も併記して検算する

基本例題

P(x)=4x³-2x²+5+(-4x³+7x²-x) の次数を求めよ。

解答

1. 同類項をまとめると、4x³-4x³=0。
2. -2x²+7x²=5x²なので、P(x)=5x²-x+5。
3. 整理後の最大指数は2で、最高次項は5x²。
4. 消えたx³を見たまま次数3としない。

答え：次数は2。

演習

(1) 単項式 -2a³b² の次数は。

(2) 3x²y+x⁴ の全次数は。

(3) 3x²y+x⁴ のyについての次数は。

演習の解答

(1) 5 指数の和3+2を取る。

(2) 4 各項の全次数は3と4。

(3) 1 yの指数だけを見る。

発展問題

(1) aを定数として、(a-1)x³+2x²-x+1 の次数をaで場合分けせよ。

(2) x²y³+xy⁴+y⁵ の全次数とxについての次数を求めよ。

発展1の解答

1. a≠1ならx³の係数が0でなく次数3。
2. a=1ならx³項が消え、2x²が最高次項。

答え：a≠1で3、a=1で2。

発展2の解答

1. 各項の全次数はすべて5。
2. xの指数は2,1,0なので最大は2。

答え：全次数5、xについての次数2。

落とし穴

• 整理前のx³を見て次数を決める
• 係数0の項を最高次項として数える
• 多変数の全次数と特定文字についての次数を混同する

到達チェック

• 次数の厳密定義の定義・標準問題・説明を、条件と途中過程を示して完結できる
• 整理後の最高次項から次数を決められる
• 文字係数により最高次項が消える場合分けができる
• 全次数と特定文字についての次数を説明できる
• 次数の根拠を最高次項とともに示せる

読み上げ注意

• 冒頭で講義番号・Part ID・ファイル名を読み上げない。
• 次数（じすう）
• 最高次項（さいこうじこう）
• 単項式（たんこうしき）
• 多項式（たこうしき）
• 数式は意味の区切りを言葉で補い、係数・指数・正負を曖昧に読まない。

範囲の境界

このPartでは「次数の厳密定義」を完結させる。隣接Partの中心技能は予告にとどめ、別の公式や問題型を詰め込まない。