整式・項・係数・次数の厳密定義
授業後に解いて、前提の穴を確認してください。解答は開いて確認できます。
次のうち整式であるものはどれか。
- A.$\sqrt{2}\,x^2-3$
- B.$x^2+\dfrac{1}{x}$
- C.$\sqrt{x}+1$
- D.$\dfrac{x+1}{x-1}$
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$\sqrt{2}\,x^2-3$ — 整式の条件は「変数の指数が非負整数」であること。$\sqrt{2}$ は定数なので係数に現れても問題ない。他の3つは $x^{-1}$、$x^{1/2}$、分母に変数、といずれも条件を満たさない。
$-5x^3+2x-7$ について、$x^3$ の係数と定数項を答えよ。
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$x^3$ の係数は $-5$、定数項は $-7$ — 係数は必ず符号込みで答える。$5$、$7$ と答えるのが最頻出の失点。
$\sqrt{2}\,x$ は整式だが $\sqrt{x}$ は整式でない。この違いを一文で説明せよ。
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$\sqrt{2}$ は定数なので係数として許されるが、$\sqrt{x}=x^{1/2}$ は変数の指数が非負整数でないため。 — 定義が制約しているのは指数であって係数ではない。根号の中身が定数か変数かを見るのが判別の作業。
$(x+2)(x-3)-x(x-1)$ を展開・整理し、次数を答えよ。
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$-6$、次数は $0$ — $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$、$x(x-1)=x^2-x$。引くと $x^2$ と $-x$ が消えて定数 $-6$ が残る。最高次の項が相殺されるため次数は $2$ ではなく $0$ になる点が急所。
定数 $5$ の次数はいくつか。
- A.$0$
- B.$1$
- C.定義されない
- D.整式ではないので次数を持たない
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$0$ — $5=5x^0$ と見れば指数は $0$ で非負整数。よって定数も整式であり、次数は $0$。ただし $0$ そのものの次数は定義しない。