定義域が動く最大最小
授業後に解いて、前提の穴を確認してください。解答は開いて確認できます。
$y=x^2-2x$ を $t\le x\le t+1$ で考える。区間が軸を含む条件を $t$ の範囲で答えよ。
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$0\le t\le 1$ — 平方完成すると $y=(x-1)^2-1$ で軸は $x=1$。$t\le 1\le t+1$ を解いて $0\le t\le 1$。区間の長さを忘れて $t\le 1$ だけにするのが典型的な失点。
同じ設定で $t<0$ のときの最小値 $m(t)$ を求めよ。
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$m(t)=t^2-1$ — 区間全体が軸より左にあり単調減少なので、最小は右端 $x=t+1$。$f(t+1)=(t+1-1)^2-1=t^2-1$。
$a>0$（下に凸）の2次関数を閉区間で考えるとき、最大値をとる点について正しいものはどれか。
- A.必ず区間の端点でとる
- B.必ず頂点でとる
- C.頂点か端点のいずれかでとる
- D.区間の中点でとる
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必ず区間の端点でとる — 下に凸なら頂点は最小側。最大は端点比較だけで決まるので、最小値のときとは場合分けの数え方が変わる。
同じ設定で最大値の場合分けの境目が $t=\dfrac{1}{2}$ になるのはなぜか。
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区間 $[t,\,t+1]$ の中点 $t+\dfrac{1}{2}$ が軸 $x=1$ と一致するのが $t=\dfrac{1}{2}$ のときだから。 — 下に凸では軸から遠い端点ほど値が大きい。中点が軸より左なら左端が、右なら右端が最大になる。差 $f(t)-f(t+1)=-2t+1$ を計算しても同じ結論が出る。
同じ問題でも、最小値は3通り・最大値は2通りに場合分けされる。この違いの理由を述べよ。
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最小は頂点と端点の両方が候補になるため「軸の左／含む／右」の3通りが必要だが、最大は端点しか候補にならないため「中点が軸の左か右か」の2通りで済むから。 — 問われる量によって場合分けの構造が変わる。答案では両者を明示的に書き分ける。