ME-M1-04-P01 · 展開公式 (a±b)²

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ME-M1-04-P01 展開公式 (a±b)²

• ブランド: Medvance
• 講座: 基礎講座
• 科目: 高校数学I
• 章: 数と式
• 設計: 1中心技能、5〜9分、NotebookLM生成用

今日のゴール

和と差の二乗公式を分配法則から理解し、係数付きの式へ正しく適用する。このPartはこの中心技能だけを扱い、隣接Partの内容を詰め込まない。

受験での位置づけ

数と式の計算は二次関数・方程式・三角比・理科の式変形にもつながる。暗記だけでなく、定義、途中過程、検算まで再現できる状態を目標にする。

この回のポイント

• (a+b)²=a²+2ab+b²
• (a-b)²=a²-2ab+b²
• 中央項2abの符号だけが変わる
• aやbが単項式でも全体を一つの塊として二乗する

定義・用語

• 和の二乗公式：(a+b)²=a²+2ab+b²。
• 差の二乗公式：(a-b)²=a²-2ab+b²。
• 中央項：展開結果の2abまたは-2abで、二つの交差積の和。

判断の根拠

(a+b)(a+b)を分配するとa²+ab+ab+b²となり、二つのabが2abになる。

係数付きではa=2xなどと置き、係数まで二乗する。

解法を選ぶ判断

「展開公式 (a±b)²」では、最初に「(a+b)²=a²+2ab+b²」を確認し、次に「(a-b)²=a²-2ab+b²」を使って候補を絞る。計算だけを先に進めず、どの定義や公式を選んだかを一文で書く。結果が出たら「(a-b)²の定数側の符号は。」にも答え、基本例題とは条件や着眼点が異なる発展問題でも同じ根拠を使えるか確かめる。これにより、偶然答えが合っただけの状態と、自力で再現できる状態を区別する。

核となる手順

1. 和の二乗か差の二乗かを判定する
2. aとbに当たる式を明示する
3. a²、±2ab、b²を順に書く
4. 係数と文字をそれぞれ二乗する
5. 分配または代入で検算する

基本例題

(2x-3)²を展開せよ。

解答

1. a=2x、b=3の差の二乗。
2. (2x)²-2(2x)(3)+3²。
3. 各項を計算する。
4. 中央項の符号は負。

答え：4x²-12x+9。

演習

(1) (x+4)²の中央項は。

(2) (3x)²は。

(3) (a-b)²の定数側の符号は。

演習の解答

(1) 8x 2×x×4。

(2) 9x² 係数3も二乗する。

(3) +b² b²は常に正の項。

発展問題

(1) (3x+2y)²を展開せよ。

(2) (x+2)²-(x-2)²を最短で整理せよ。

発展1の解答

1. a=3x、b=2y。
2. a²+2ab+b²へ代入する。

答え：9x²+12xy+4y²。

発展2の解答

1. それぞれ展開する。
2. x²と定数項が相殺される。

答え：8x。

落とし穴

• 中央項を落としてa²+b²とする
• (2x)²を2x²とする
• 差の二乗で最後のb²まで負にする

到達チェック

• 展開公式 (a±b)²の定義・標準問題・説明を、条件と途中過程を示して完結できる
• 二乗公式を分配から導ける
• 係数付きの和と差を展開できる
• 多変数の二乗を展開できる
• 二つの二乗の差で相殺を利用できる

読み上げ注意

• 冒頭で講義番号・Part ID・ファイル名を読み上げない。
• 和の二乗（わのにじょう）
• 差の二乗（さのにじょう）
• 中央項（ちゅうおうこう）
• 交差積（こうさせき）
• 数式は意味の区切りを言葉で補い、係数・指数・正負を曖昧に読まない。

範囲の境界

このPartでは「展開公式 (a±b)²」を完結させる。隣接Partの中心技能は予告にとどめ、別の公式や問題型を詰め込まない。