<!-- content-profile: foundation-v4 -->
ME-M1-04-P02 (a+b)(a-b)
- ブランド: Medvance
- 講座: 基礎講座
- 科目: 高校数学I
- 章: 数と式
- 設計: 1中心技能、5〜9分、NotebookLM生成用
今日のゴール
和と差の積を平方の差として展開し、中間項が消える理由を説明する。このPartはこの中心技能だけを扱い、隣接Partの内容を詰め込まない。
受験での位置づけ
数と式の計算は二次関数・方程式・三角比・理科の式変形にもつながる。暗記だけでなく、定義、途中過程、検算まで再現できる状態を目標にする。
この回のポイント
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- 交差積-abと+abが相殺される
- 二つの括弧で共通する部分をaと見る
- 式全体が完全に和と差の対であるか確認する
定義・用語
- 平方の差：a²-b²=(a+b)(a-b)と表せる形。
- 和と差の積：(a+b)(a-b)で、中間項が相殺されa²-b²となる。
- 共通部分：二つの括弧で符号も形も同じaに当たる式。
判断の根拠
分配するとa²-ab+ab-b²となり、-abと+abが0になる。公式はこの相殺の省略である。
aとbは数や一文字に限らず、2xやx+yのような式の塊でもよい。
解法を選ぶ判断
「(a+b)(a-b)」では、最初に「(a+b)(a-b)=a²-b²」を確認し、次に「交差積-abと+abが相殺される」を使って候補を絞る。計算だけを先に進めず、どの定義や公式を選んだかを一文で書く。結果が出たら「(x+2)(x-3)に公式を使えるか。」にも答え、基本例題とは条件や着眼点が異なる発展問題でも同じ根拠を使えるか確かめる。これにより、偶然答えが合っただけの状態と、自力で再現できる状態を区別する。
核となる手順
- 二つの括弧の共通部分をaと置く
- 符号だけ異なる部分をbと置く
- 完全な(a+b)(a-b)型か確認する
- a²-b²へ置き換える
- 必要ならさらに展開・整理する
基本例題
(3x+5)(3x-5)を展開せよ。
解答
- 共通部分a=3x、符号が変わるb=5。
- a²-b²を使う。
- (3x)²-5²。
- 係数も二乗する。
答え：9x²-25。
演習
(1) (x+7)(x-7)を展開せよ。
(2) (2x+y)(2x-y)を展開せよ。
(3) (x+2)(x-3)に公式を使えるか。
演習の解答
(1) x²-49 平方の差。
(2) 4x²-y² a=2x、b=y。
(3) 使えない 符号違いの同じbではない。
発展問題
(1) (x+y+1)(x+y-1)を展開せよ。
(2) 1003×997を平方の差で計算せよ。
発展1の解答
- a=x+y、b=1と置く。
- (x+y)²-1をさらに展開する。
答え：x²+2xy+y²-1。
発展2の解答
- 1000+3と1000-3の積と見る。
- 1000²-3²を計算する。
答え：999991。
落とし穴
- 共通部分が違うのに公式を当てる
- a²+b²と符号を誤る
- aが式のとき括弧全体を二乗しない
到達チェック
- (a+b)(a-b)の定義・標準問題・説明を、条件と途中過程を示して完結できる
- 中間項が消える理由を分配で示せる
- 係数・多変数を含む平方の差を使える
- 公式を使えない形を判別できる
- 数値計算へ平方の差を応用できる
読み上げ注意
- 冒頭で講義番号・Part ID・ファイル名を読み上げない。
- 平方の差（へいほうのさ）
- 相殺（そうさい）
- 共通部分（きょうつうぶぶん）
- 中間項（ちゅうかんこう）
- 数式は意味の区切りを言葉で補い、係数・指数・正負を曖昧に読まない。
範囲の境界
このPartでは「(a+b)(a-b)」を完結させる。隣接Partの中心技能は予告にとどめ、別の公式や問題型を詰め込まない。
